已知a是实数,函数f(x)=x2(x-a). (Ⅰ)若f′(1)=3,求a的值及曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (Ⅱ)求f(x)在区间[0,2]上的最大值.
题目
已知a是实数,函数f(x)=x2(x-a).
(Ⅰ)若f′(1)=3,求a的值及曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(Ⅱ)求f(x)在区间[0,2]上的最大值.
答案
(I)f'(x)=3x
2-2ax.因为f'(1)=3-2a=3,所以a=0.
又当a=0时,f(1)=1,f'(1)=3,则切点坐标(1,1),斜率为3
所以曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程为y-1=3(x-1)化简得3x-y-2=0.
(II)令f'(x)=0,解得
x1=0,x2=.
当
≤0,即a≤0时,f(x)在[0,2]上单调递增,从而f
max=f(2)=8-4a.
当
≥2时,即a≥3时,f(x)在[0,2]上单调递减,从而f
max=f(0)=0.
当
0<<2,即0<a<3,f(x)在
[0,]上单调递减,在
[,2]上单调递增,从而
fmax=综上所述,
fmax=(I)求出f'(x),利用f'(1)=3得到a的值,然后把a代入f(x)中求出f(1)得到切点,而切线的斜率等于f'(1)=3,写出切线方程即可;
(II)令f'(x)=0求出x的值,利用x的值分三个区间讨论f'(x)的正负得到函数的单调区间,根据函数的增减性得到函数的最大值.
利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究曲线上某点切线方程.
本题主要考查导数的基本性质、导数的应用等基础知识,以及综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力.
举一反三
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