已知不等式1n+1+1n+2+…+12n＞a对一切大于1的自然数n都成立，则a的取值范围是（　　） A.(−∞，13] B.(−∞，12] C.(−∞，712) D.（-∞，0]

题目

已知不等式

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

＞a

答案

设设f(n)＝

1

n+1

+…+

1

2n

，则f(n+1)＝

1

n+2

+…+

1

2n

+

1

2n+1

+

1

2(n+1)

，
则f(n+1)−f(n)＝

1

2n+1

+

1

2(n+1)

−

1

n+1

＝

1

2n+1

−

1

2(n+1)

=

1

2n+1

−

1

2n+2

＞0，
所以数列f（n）是关于n（n∈N，n≥2）的递增数列，
所以f（n）≥f（2）=

1

2+1

+

1

2+2

＝

1

3

+

1

4

＝

7

12

，
所以要使不等式

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

＞a对一切大于1的自然数n都成立，所以a＜

7

12

．
故选C．