已知关于x的方程x^2-(k+1)x-2=0和x^2-2x-k(k+1)=0只有一个相同的实数根,求k的值和此公共根

题目

已知关于x的方程x^2-(k+1)x-2=0和x^2-2x-k(k+1)=0只有一个相同的实数根,求k的值和此公共根

答案

设有相同的根a则：
a^2-(k+1)a-2=0
a^2-2a-k(k+1)=0
两式做差:
(k-1)a=(k+2)(k-1)
当k=1时
x^2-2x-2=0,x^2-2x-2=0
有2个相同的实数根
所以k不等于1
故公共解为k+2
将k+2代入方程
(k+2)^2-(k+1)(k+2)-2=k=0
此时的方程为
x^2-x-2=0,x^2-2x=0
综上所述k=0,公共根为2