如果椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)上存在一点P，使得点P到左准线的距离与它到右焦点的距离相等，那么椭圆的离心率的取值范围为 _ ．

题目

如果椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上存在一点P，使得点P到左准线的距离与它到右焦点的距离相等，那么椭圆的离心率的取值范围为 ___ ．

答案

设椭圆左焦点为F₁，右焦点为F₂，|PF₁|=d₁，|PF₂|=d₂，离心率为e
由椭圆第二定义，点P到左准线的距离为

d1

e

，∴

d1

e

=d₂，
又∵d₁+d₂=2a，∴

2a-d2

e

=d₂，即d₂=

2a

e+1

∵a-c≤d₂≤a+c
∴a-c≤

2a

e+1

≤a+c，即1-e≤

2

e+1

≤1+e，
又∵0＜e＜1
∴解不等式得

2

-1≤e＜1
故答案为[

2

-1，1)

先利用椭圆的第二定义：到左焦点的距离与到左准线的距离之比为常数e（离心率），用P到左焦点的距离表示P到左准线的距离，再利用椭圆的第一定义：到两焦点的距离之和为定值2a，且P到焦点的距离的取值范围为[a-c，a+c]，列出关于e的不等式即可解得椭圆的离心率的取值范围

本题考点：椭圆的简单性质．

考点点评：本题考察了椭圆的两个定义及两个定义间的关系，椭圆的标准方程及其几何意义，解题时重点掌握椭圆的两个定义