一已知四棱锥P--ABCD的底面是菱形,∠DAB=60°,PD⊥平面ABCD,PD=AD,E为AB的中点,F为PD的中点.

题目

一已知四棱锥P--ABCD的底面是菱形,∠DAB=60°,PD⊥平面ABCD,PD=AD,E为AB的中点,F为PD的中点.
(1)平面PED垂直与平面PAB（2）求二面角F-AB-D的正切值.

答案

1）
连接ED
∵ABCD是菱形,∠DAB=60°
∴△ABD是正△
E是AB的中点,
∴DE⊥AB
再∵PD⊥平面ABCD
∴PD⊥AB
∴AB⊥平面PDE
∴平面PED垂直与平面PAB
2）
由1）中得知,△ABD是正△
∴DB = AD
∵PD⊥平面ABCD
∴△FDA≌△FDB
∴FA = FB
∵E是AB的中点
∴FE⊥AB
∴二面角F-AB-D的大小就是∠FED
正△中高与边长的比例是(√3)：2
F是PD的中点,
PD=AD
∴二面角F-AB-D的正切值 = tan∠FED = FD/ED = 1：√3