设正整数m,n满足m(m-1)=7*n^2,求证：m为平方数.

题目

设正整数m,n满足m(m-1)=7*n^2,求证：m为平方数.
无

答案

因为7整除7n^2,所以7整除m(m-1),而m与m-1互素,所以要么7整除m,要么7整除m-1,
1,若7整除m,设m=7k,代入原式,有k(7k-1)=n^2,而k与7k-1互素,所以k和7k-1都是完全平方数,但是完全平方数除以7的余数只能是0,1,2,4,故7k-1不是完全平方数,矛盾.
2,若7不整除m,则7整除m-1,设m-1=7k,代入,(7k+1)*k=n^2,所以7k+1和k均为完全平方数,而m就是7k+1,所以m为完全平方数