函数f(x)=Inx-a(x-1)/x (x>0,a属于R）

题目

函数f(x)=Inx-a(x-1)/x (x>0,a属于R）
（1）试求f（x）的单调区间
（2）当a>0时,求证,函数f（x)的图像存在唯一零点的充要条件是a=1

答案

（1）f'(x)=1/x-a/x^2=(x-a)/x^2 (x>0)
当a0 增
当00 增
当0a时,f'(x)>0 增
当00)
易知当a=1时,f(a)=f(1)=0
下面再证明lna-a+1=0 有唯一的根a=1
f'(a)=1/a-1=(1-a)/a
则当a=1时,f'(a)=0
当00 增
故当a=1时,f(a)取得最小值为f(1)=0
故当且仅当a=1时,才有f(a)=0
即lna-a+1=0 有唯一的根a=1得证
综上所述,函数f（x)的图像存在唯一零点的充要条件是a=1
总算写完了!