在正四面体ABCD中,E,F分别为BC,AD的中点,则异面直线AE与CF所成角的余弦值是 _ .
题目
在正四面体ABCD中,E,F分别为BC,AD的中点,则异面直线AE与CF所成角的余弦值是 ___ .
答案
如图所示:设正四面体ABCD的棱长为a,
连接ED,取ED的中点M,连接CM、FM,则FM∥AE,且FM=
AE,
∴异面直线AE与CF所成的角即为∠CFM或其补角,
∵AE=CF=
a,
∴FM=
a
在Rt△MEC中,EC=
a,EM=
a,
∴MC=
a
∴cos∠CFM=
=
=
.
故答案是:
.
![作业帮](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/902397dda144ad34d4a36f36d3a20cf431ad8567.jpg)
连接ED,取ED的中点M,连接CM、FM,则FM∥AE,且FM=
AE,所以异面直线AE与CF所成的角即为∠CFM或其补角,然后在△MFC中,借助正弦或余弦定理解出所求的角.
异面直线及其所成的角.
本题主要考查了异面直线所成的角,空间中的线面关系,解三角形等基础知识,考查空间想象能力和思维能力.求异面直线所成的角,一般有两种方法,法一几何法,即利用“作、证、求”求得角;法二向量法,即利用向量的数量积公式求向量的夹角的余弦值.
举一反三
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