已知正四面体ABCD中,BC的中点为E,AD的中点为F,连AE,CF 1 判断AE,CF的关系

题目

已知正四面体ABCD中,BC的中点为E,AD的中点为F,连AE,CF 1 判断AE,CF的关系
已知正四面体ABCD中,BC的中点为E,AD的中点为F,连AE,CF
1 判断AE,CF的关系
2 AE,CF所成角的余弦

答案

如图所示：设正四面体ABCD的棱长为a,
连接ED,取ED的中点M,连接CM、FM,则FM∥AE,且FM=1/2AE,
∴异面直线AE与CF所成的角即为∠CFM或其补角,
∵AE=CF=(√3/2）a,
∴FM=(√3/4)a,
在Rt△MEC中,EC=(1/2)a,EM=(√3/4)a,
∴MC=(√7/4)a
∴cos∠CFM=
(CF² +FM² −MC² )
/(2CF•FM)＝2/3
∴∠CFM=arccos2/3