若存在过点(1,0)的直线与曲线y=x3和y=ax2+15/4x-9都相切,则a等于 _ .
题目
若存在过点(1,0)的直线与曲线y=x
3和
y=ax2+x-9都相切,则a等于 ___ .
答案
由y=x
3⇒y'=3x
2,设曲线y=x
3上任意一点(x
0,x
03)处的切线方程为y-x
03=3x
02(x-x
0),(1,0)代入方程得x
0=0或
x0=①当x
0=0时,切线方程为y=0,则
ax2+x-9=0,
△=()2-4a×(-9)=0⇒a=-②当
x0=时,切线方程为
y=x-,由
⇒ax2-3x-=0,
△=32-4a(-)=0⇒a=-1∴
a=-或a=-1.
故答案为:-
或-1
已知点(1,0)不知曲线y=x
3上,容易求出过点(1,0)的直线与曲线y=x
3相切的切点的坐标,进而求出切线所在的方程;再利用切线与y=ax
2+
x-9相切,只有一个公共点,两个方程联系,得到二元一次方程,利用判别式为0,解出a的值.
导数的几何意义.
熟练掌握导数的几何意义,本题属于中档题,应学会当直线与抛物线相切时,考虑判别式为0这一等式.对于本题需提醒的是,对于类似y=ax2+bx+c这种情况,应考虑讨论a是否为0这一情形.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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