已知f(x)=ax5-bx3+c(a>0)在x=±1处有极值,且极大值为4,极小值为0,试确定a、b、c的值.

已知f(x)=ax5-bx3+c(a>0)在x=±1处有极值,且极大值为4,极小值为0,试确定a、b、c的值.

题目
已知f(x)=ax5-bx3+c(a>0)在x=±1处有极值,且极大值为4,极小值为0,试确定a、b、c的值.
答案
已知f(x)=ax5-bx3+c,
所以f′(x)=5ax4-3bx2=x2(5ax2-3b).
根据题意f′(x)=0应有根x=±1,
故5a=3b.
所以f′(x)=5ax2(x2-1).
因a>0时,列表:

由上表可见
4=f(−1)=−a+b+c①
0=f(1)=a−b+c.②

①+②得c=2,
①-②得b=a+2.
又5a=3b,所以a=3,b=5,c=2.
先求函数的导数,根据题意f′(x)=0应有根x=±1,可得一个关系式,再借助两个极值建立两个等量关系,解三元一次方程组即可.

利用导数研究函数的极值.

本题主要考查了利用导数研究函数的极值,通过极值求解系数,属于中档题.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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