已知函数f(x)=x3-x2-x.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)求曲线y=f(x)在点P(-1,f(-1))处的切线方程.

已知函数f(x)=x3-x2-x.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)求曲线y=f(x)在点P(-1,f(-1))处的切线方程.

题目
已知函数f(x)=x3-x2-x.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)求曲线y=f(x)在点P(-1,f(-1))处的切线方程.
答案
(本小题满分14分)
(1)函数f(x)的定义域为(-∞,+∞).(1分)f′(x)=3x2-2x-1=3(x+
1
3
)(x-1)
.(4分)
x∈(-∞,-
1
3
)
时,f'(x)>0,此时f(x)单调递增;                   (5分)
x∈(-
1
3
,1)
时,f'(x)<0,此时f(x)单调递减;                     (6分)
当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,此时f(x)单调递增.(7分)
所以函数f(x)的单调增区间为(-∞,-
1
3
)
与(1,+∞),单调减区间为(-
1
3
,1)
.(9分)
(2)因为f(-1)=(-1)3-(-1)2+1=-1,(10分)f'(-1)=3×(-1)2-2×(-1)-1=4,(12分)
所以所求切线方程为y+1=4(x+1),即y=4x+3.(14分)
(1)先求函数的导数,然后利用f′(x)>0,或f′(x)<0,求出单调区间.
(2)利用导数先求f′(-1),即切线的斜率k=f′(-1),代入点斜式方程,即可求出对应的切线方程.

利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上某点切线方程.

本题主要考查导数的计算,利用导数研究函数的单调性,以及利用导数的几何意义求切线方程.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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