定义在正整数集上的函数f(x)对任意m,n∈N*,都有f(m+n)=f(m)+f(n)+4(m+n)-2,且f(1)=1

题目

定义在正整数集上的函数f(x)对任意m,n∈N*,都有f(m+n)=f(m)+f(n)+4(m+n)-2,且f(1)=1
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）若m^2-tm-1≤f（x）对于任意的m属于[-1,1],x属于N*恒成立,求实数t的取值范围；
（3）对任意正整数n,在[2,n+16/n]内总存在m+1个实数a1,a2,…,am,am+1,使f(a1)+f(a2)+…+f(am)

答案

(1)由f(m+n)=f(m)+f(n)+4(m+n)-2
则f(n)
=f(n-1+1)
=f(n-1)+f(1)+4n-2
=f(n-1)+4n-1
=f(n-2)+4(n-1)-1+4n-1
=f(1)+4*1+4*2+……+4(n-1)+4n-(n-1)
=1+4n(n-1)/2-n+12n^2-3n+2
=2n^2-3n+2
则f(x)=2x^2-3x+2,(x∈N+)
(2)令g(m)=m^2-tm-1,则只需g(m)max