圆C经过点(4,2)和(-2,-6),该圆与坐标轴的四个截距之和等于-2,求圆的方程

题目

圆C经过点(4,2)和(-2,-6),该圆与坐标轴的四个截距之和等于-2,求圆的方程

答案

最好要有详细的解答过程：
(4,2)与(-2,-6)构成直线的斜率为4/3,中点坐标为（1,-2),因此中垂线方程为y＋2＝（－3/4）×（x－1）.圆心必在中垂线上,故可设x－1＝－4m,则y＋2＝3m,即圆心C坐标可设成（1－4m,3m－2）,又不难计算得|CA|^2＝|CB|^2＝25(m^2＋1）,因此圆的方程为[x－（1－4m)]^2+[y－(3m－2）]＾2＝25（m^2＋1）.由于圆与x轴两个交点的中垂线必经过圆心,因此圆在x轴上的截距和必为圆心横坐标的2倍,即为2（1－4m）；类似地,圆在y轴上的截距和必为圆心纵坐标的2倍,即为2（3m－2）.由题意知,2（1－4m）＋2（3m－2）＝－2,解得m＝0,故圆的方程为（x－1）＾2＋（y＋2）＾2＝25.