如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，⊙O为△ABC的内切圆，点D是斜边AB的中点，则tan∠ODA=（　　） A.32 B.33 C.3 D.2

题目

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，⊙O为△ABC的内切圆，点D是斜边AB的中点，则tan∠ODA=（　　）

A.

3

2

B.

3

3

C.

3

D. 2

答案

设⊙O与AB相切于点E，连接OE，则OE⊥AB．
∵∠C=90°，AC=6，BC=8，
∴AB=10，
∴AE=

10+6−8

2

=4．
∵⊙O为△ABC的内切圆，点D是斜边AB的中点，
∴AD=5，则DE=1，
∴r=

6+8−10

2

=2
∴tan∠ODA=2．
故选D．

⊙O与AB相切于点E，连接OE，则OE⊥AB．根据勾股定理得AB=10，再根据切线长定理可以求得AE=4．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得AD=5，DE=1．根据直角三角形内切圆的半径等于两条直角边的和与斜边的差的一半，得内切圆的半径是2，从而求得tan∠ODA=2．

本题考点：圆的切线的性质定理的证明．

考点点评：此题要能够根据切线长定理证明：作三角形的内切圆，其中的切线长等于切线长所在的两边和与对边差的一半；直角三角形内切圆的半径等于两条直角边的和与斜边的差的一半．