已知抛物线y的平方=2x上的点P(x,y),点A(a,0)(a∈R),设P到A的距离的最小值为f(a).

题目

已知抛物线y的平方=2x上的点P(x,y),点A(a,0)(a∈R),设P到A的距离的最小值为f(a).
已知抛物线y的平方=2x上的点P（x,y),点A（a,0)(a∈R）,设P到A的距离的最小值为f(a).(1)求f(a)的表达式(2)当1/3≤a≤5时,求f(a)的最大值和最小值

答案

(一）可设点P(2t²,2t),(t∈R).则|PA|²=(2t²-a)²+4t²=[2t²-(a-1)]²+2a-1.∵2t²≥0,∴当a-1≤0时,即a≤1时,|PA|²min=a²,当a-1＞0时,|PA|²min=2a-1.∴函数f(a)可表示为分段函数：[f(a)=|a|,(a≤1),],[f(a)=√(2a-1),(a＞1)].（二）当a∈[1/3,5]时,数形结合可知,f(a)min=f(1/3)=1/3,f(a)max=f(5)=3.