已知{an}为等差数列,{bn}为各项均是正数的等比数列,且a1=b1=1,a2+a4=b3,b2b4=a3

题目

已知{an}为等差数列,{bn}为各项均是正数的等比数列,且a1=b1=1,a2+a4=b3,b2b4=a3
（Ⅱ）数列{8anbn2}的前n项的和Sn．
．是8an乘以bn的平方,他的Sn

答案

因为a2+a4=2a3,b2*b4=(b3)²
所以2a3=b3,(b3)²=a3
那么(b3)²=1/2*a3
而b3>0,所以b3=1/2
于是a3=1/4
那么公差d=(1/4-1)/2=-3/8,公比q=√(1/2)=√2/2
所以an=1-3/8*(n-1)=(11-3n)/8,bn=(√2/2)^(n-1)
于是8an=11-3n,bn²=(1/2)^(n-1)=1/2^(n-1)
所以Sn=8/2^0+5/2^1+2/2^2+……+(11-3n)/2^(n-1) ①
那么Sn/2=8/2^1+5/2^2+……+(14-3n)/2^(n-1)+(11-3n)/2^n ②
②-①,得：-Sn/2=-8+3/2^1+3/2^2+……+3/2^(n-1)+(11-3n)/2^n
=-8+3/2^1×[1-1/2^(n-1)]/(1-1/2)+(11-3n)/2^n
=-8+3-3/2^(n-1)+(11-3n)/2^n
=-5+(5-3n)/2^n
所以Sn=(3n-5)/2^(n-1)+10