对于任意实数x,函数f(x)=(5-a)x2-6x+a+5恒为正值,求a的取值范围.

对于任意实数x,函数f(x)=(5-a)x2-6x+a+5恒为正值,求a的取值范围.

题目
对于任意实数x,函数f(x)=(5-a)x2-6x+a+5恒为正值,求a的取值范围.
答案
要使函数f(x)=(5-a)x2-6x+a+5恒为正值,
则等价为(5-a)x2-6x+a+5>0恒成立,
若5-a=0,即a=5时,不等式等价为-6x+10>0,此时不满足条件.
∴a≠5,
要使不等式(5-a)x2-6x+a+5>0恒成立,
5−a>0
△=36−4(5−a)(a+5)<0

解得-4<a<4,
∴a的取值范围是-4<a<4.
将函数f(x)=(5-a)x2-6x+a+5恒为正值转化为f(x)=(5-a)x2-6x+a+5>0,利用不等式的性质解决即可.

函数恒成立问题.

本题主要考查不等式恒成立问题,利用一元二次不等式的性质是解决本题的关键,注意对二次项系数进行分类讨论.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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