函数f(x)是定义在(-1,1)上的奇函数且为增函数,若f(1-a)+f(1-a2)>0,求a的范围.

函数f(x)是定义在(-1,1)上的奇函数且为增函数,若f(1-a)+f(1-a2)>0,求a的范围.

题目
函数f(x)是定义在(-1,1)上的奇函数且为增函数,若f(1-a)+f(1-a2)>0,求a的范围.
答案
∵f(x)为奇函数,
∴f(1-a)+f(1-a2)>0可化为f(1-a)>-f(1-a2)=f(a2-1),
又f(x)在定义域(-1,1)上递增,
1−a>a2−1
−1<1−a<1
−1<1−a2<1

−2<a<1
0<a<2
2
<a<0或0<a<
2

解得0<a<1.
∴a的取值范围为:0<a<1.
将不等式进行转化,利用函数的单调性和奇偶性,即可得到结论.

奇偶性与单调性的综合.

本题考查函数的奇偶性、单调性的综合应用,考查抽象不等式的求解,考查学生的转化能力.综合考查函数的性质.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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