关于高一数学必修五正余弦定理的问题

题目

关于高一数学必修五正余弦定理的问题
已知锐角α、β、γ,满足sinα+sinγ=sinβ,cosα-cosγ=cosβ,求α-β的值.

答案

由已知得
sinγ=-sinα+sinβ,cosγ=cosα-cosβ,平方相加得
sin²γ+cos²γ=(-sinα+sinβ)²+(cosα-cosβ)²,即
1=sin²α-2sinαsinβ+sin²β+cos²α-2cosαcosβ+cos²β
=(sin²α+cos²α)+(sin²β+cos²β)-2(sinαsinβ+cosαcosβ)
=1+1-2cos(α-β)
故cos(α-β)=1/2
又已知α、β为锐角,故α-β=±π/3
再由γ也为锐角及sinγ=-sinα+sinβ,得α＜β
故α-β=-π/3