已知函数f（x）=x3-3x，若过点A（1，m）（m≠-2）可作曲线y=f（x）的三条切线，则实数m的取值范围为_．

题目

已知函数f（x）=x³-3x，若过点A（1，m）（m≠-2）可作曲线y=f（x）的三条切线，则实数m的取值范围为______．

答案

设切点为（a，a3-3a），∵f（x）=x3-3x，∴f'（x）=3x2-3，∴切线的斜率k=f′（a）=3a2-3，由点斜式可得切线方程为y-（a3-3a）=（3a2-3）（x-a），∵切线过点A（1，m），∴m-（a3-3a）=（3a2-3）（1-a），即2a3-3a2=...

设切点为（a，a³-3a），利用导数的几何意义，求得切线的斜率k=f′（a），利用点斜式写出切线方程，将点A代入切线方程，可得关于a的方程有三个不同的解，利用参变量分离可得2a³-3a²=-3-m，令g（x）=2x³-3x²，利用导数求出g（x）的单调性和极值，则根据y=g（x）与y=-3-m有三个不同的交点，即可得到m的取值范围．

本题考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评：本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程．导数的几何意义即在某点处的导数即该点处切线的斜率，解题时要注意运用切点在曲线上和切点在切线上．运用了转化的数学思想方法，对能力要求较高．属于中档题．