已知等差数列{an}的前n项和为Sn，令bn=1/Sn，且a4b4=2/5，S6-S3=15，求： （1）数列{bn}的通项公式； （2）Tn=b1+b2+b3+…+bn，求Tn的值．

题目

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，令b_n=

1

Sn

，且a₄b₄=

2

5

，S₆-S₃=15，求：
（1）数列{b_n}的通项公式；
（2）T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n，求T_n的值．

答案

（1）设等差数列{a_n}的公差为d，则有已知得：

a1+3d 4a1+ 4×3 2 d  ＝ 2 5   6a1+ 6×5 2 d−(3a1+ 3×2 2 d)＝15

⇒a₁=d=1，
所以a_n=a₁+（n-1）d=n．
所以：Sn＝

n(n+1)

2

．
故：b_n=

2

n(n+1)

．
（2）T_n
=b₁+b₂+b₃+…+b_n
=2（1-

1

2

）+2（

1

2

-

1

3

）+2（

1

3

-

1

4

）+…+2（

1

n

−

1

n+1

）
=2（1-

1

n+1

）
=

2n

n+1

．

（1）直接根据条件列出关于首项和公差的等式，求出首项和公差即可求出{a_n}的通项公式，进而求出前n项和为S_n，即可得到结论；
（2）直接对数列{b_n}的通项公式裂项，即可得到T_n的值．

本题考点：数列的求和；数列的概念及简单表示法．

考点点评：本题主要考查等差数列的性质以及数列的裂项求和法的应用，考查计算能力．