已知数列an的前n项和Sn=n^2,设bn=an/3n,记数列bn的前n项和为Tn,求证Tn=1-(n+1)/3^n
题目
已知数列an的前n项和Sn=n^2,设bn=an/3n,记数列bn的前n项和为Tn,求证Tn=1-(n+1)/3^n
答案
a1=S1=1.
n>=2时,an=Sn-S(n-1)=n^2-(n-1)^2=2n-1,a1=1适合此式,所以an=2n-1,n为正整数.
bn=an/3^n=(2n-1)/3^n.
Tn=1/3+3/3^2+5/3^3+…+(2n-1)/3^n (1)
(1)/3得:Tn/3=1/3^2+3/3^3+5/3^4+…+(2n-1)/3^(n+1) (2)
(1)-(2)得:2Tn/3=1/3+2/3^2+2/3^3+2/3^4+…+2/3^n-(2n-1)/3^(n+1)
=-1/3+2(1/3+1/3^2+1/3^3+…+1/3^n)-(2n-1)/3^(n+1)
=-1/3+1-1/3^n-(2n-1)/3^(n+1)
=2/3-2(n+1)/3^(n+1)
所以,Tn=1-(n+1)/3^n.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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