抛物线(x的平方)=4y的焦点为F,过点(0,-1)作直线交抛物线于不同的两点A、B,以AF、BF为邻边做平行四边形FARB,求定点R的轨迹方程
题目
抛物线(x的平方)=4y的焦点为F,过点(0,-1)作直线交抛物线于不同的两点A、B,以AF、BF为邻边做平行四边形FARB,求定点R的轨迹方程
答案
根据题意,应当求R点的坐标,而R与F的中点就A和B的中点.设R(x,y)、A(x1,y1)、B(x2,y2),过点(0,-1)的直线方程的斜率为k,则直线方程为y=kx-1.
点A(x1,y1)、B(x2,y2)坐标是方程组
x平方=4y (1)
y=kx-1 (2)
的解.代(2)入(1)可得
x平方-4kx+4=0
由韦达定理
x1+x2=4k
x1x2=4
又由y=x平方/4得
y1+y2=(x1平方+x2平方)/4=[(x1+x2)平方-2x1x2]/4=4k平方-2
这样,我们有
x+1=4k (3)
y+0=4k平方-2 (4)
由(3)得
4k平方=(x+1)平方/4
代上式入(4)得
y=(x+1)平方/4-2
即为所求点的轨迹.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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