抛物线（x的平方）=4y的焦点为F,过点(0,-1)作直线交抛物线于不同的两点A、B,以AF、BF为邻边做平行四边形FARB,求定点R的轨迹方程

题目

抛物线（x的平方）=4y的焦点为F,过点(0,-1)作直线交抛物线于不同的两点A、B,以AF、BF为邻边做平行四边形FARB,求定点R的轨迹方程

答案

根据题意,应当求R点的坐标,而R与F的中点就A和B的中点.设R(x,y)、A(x1,y1)、B(x2,y2),过点(0,-1)的直线方程的斜率为k,则直线方程为y=kx-1.
点A(x1,y1)、B(x2,y2)坐标是方程组
x平方=4y （1）
y=kx-1 （2）
的解.代（2）入（1）可得
x平方-4kx+4=0
由韦达定理
x1+x2=4k
x1x2=4
又由y=x平方/4得
y1+y2=(x1平方+x2平方)/4=[(x1+x2)平方-2x1x2]/4=4k平方-2
这样,我们有
x+1=4k （3）
y+0=4k平方-2 （4）
由（3）得
4k平方=(x+1)平方/4
代上式入（4）得
y=(x+1)平方/4-2
即为所求点的轨迹.