若y＝1−x+x−1/2的最大值为a，最小值为b，则a2+b2的值为_．

题目

若y＝

1−x

+

x− 1 2

的最大值为a，最小值为b，则a²+b²的值为______．

答案

由1-x≥0，且x−

1

2

≥0，得

1

2

≤x≤1．
y2＝

1

2

+2

−x2+ 3 2 x− 1 2

＝

1

2

+2

−(x− 3 4 )2+ 1 16

．
由于

1

2

＜

3

4

＜1，
所以当x＝

3

4

时，y²取到最大值1，故a=1．
当x＝

1

2

或1时，y²取到最小值

1

2

，故b＝

2

2

．
所以：a2+b2＝

3

2

．
故答案为：

3

2

．

根据二次根式的性质，可以确定x的取值范围，再将y＝

1−x

+

x− 1 2

方程两边平方得出，y²的最大值与最小值，从而得出a²+b²的值．

本题考点：二次函数的最值；二次根式的应用．

考点点评：此题主要考查了二次根式的性质以及完全平方公式的应用，将原式平方得出y²的最大值与最小值是解决问题的关键，这种方法经常运用于此类问题的运算．