设圆过双曲线X平方比减9Y平方比16等于1的一个顶点和一个焦点,圆心在双曲线上,求圆心到双曲线中心的距离

题目

设圆过双曲线X平方比减9Y平方比16等于1的一个顶点和一个焦点,圆心在双曲线上,求圆心到双曲线中心的距离

答案

根据x^2/9-y^2/16=1 所以 a=3 b=4 c=5
所以顶点坐标标A（3,0）、B（-3,0）,焦点坐标F1（5,0）、F2（-5,0）,
圆过一个顶点和一个焦点,则圆心必然在其中垂线上,
AF2中垂线方程为x=(3-5)/2=-2,即圆心必不在双曲线上,
同理BF1中垂线方程为x=(-3+5)/2=2,即圆心必不在双曲线上,
所以圆过点A、F1或B、F2,不妨设其过A、F1两点,
则中垂线方程为x=(3+5)/2=4,
即4^2/9-y^2/16=1y=4√7/3
所以圆心坐标为（4,4√7/3）,
到双曲线中心的距离=√(16+16*7/9)=16/3