多元函数连续必可微?可微必连续?一直不明包微分和求导有何不同?

题目

多元函数连续必可微?可微必连续?一直不明包微分和求导有何不同?


答案

微分的思想是用简单近似复杂,最简单的函数是什么?
不就是线性函数.因此微分就是用线性函数来近似给定的函数f(x,y).
即f(x,y)=f(x0,y0)+A*(x--x0)+B(y--y0)+d,d是误差.
但不是所有的函数都能用线性函数来近似,只有可微的函数才行.
也就是要求误差d必须充分小才可以.
所以所谓的可微就是误差d是(x--x0,y-y0)的高阶无穷小,这样
误差项d相比起主要部分（也即是线性部分）f(x0,y0)+A(x--x0)+B(y-y0)是
可以忽略的.这就是微分的定义.表现在几何上就是可微的函数是可以用
切平面上的点来近似函数图像（当然是在这一点的邻域附近）.
*** 可微必连续,但连续未必可微.
**** 多元没有可导的说法,只有偏导数的概念,但偏导数只是考虑
从一个方向来做近似,比如af/ax(x0,y0)存在,只能说明f(x,y)
在此点沿x轴的方向是可微的,沿别的方向你是不知道是否可微的,
因此可微偏导数必存在,但偏导数的存在不能保证函数可微.