已知数列{an}满足a1=a2=2,a(n+1)=an+2a(n-1)（n>=2）.求数列{an}的通项公式

题目

已知数列{an}满足a1=a2=2,a(n+1)=an+2a(n-1)（n>=2）.求数列{an}的通项公式

答案

∵数列{a[n]}满足a[n+1]=a[n]+2a[n-1]（n>=2）
∴a[n+1]-2a[n]=-(a[n]-2a[n-1])
∵a[1]=a[2]=2
∴{a[n+1]-2a[n]}是首项为a[2]-2a[1]=-2,公比为-1的等比数列
即：a[n+1]-2a[n]=(-2)(-1)^(n-1)=2(-1)^n
∴a[n+1]+(2/3)(-1)^(n+1)=2(a[n]+(2/3)(-1)^n)
∴{a[n]+(2/3)(-1)^n}是首项为a[1]+(2/3)(-1)^1=4/3,公比为2的等比数列
即：a[n]+(2/3)(-1)^n=(4/3)2^(n-1)=2^(n+1)/3
∴a[n]=2^(n+1)/3-(2/3)(-1)^n