已知：在△ABC中，a、b、c为其三条边．求证：asin（B-C）+bsin（C-A）+csin（A-B）=0．

题目

已知：在△ABC中，a、b、c为其三条边．求证：asin（B-C）+bsin（C-A）+csin（A-B）=0．

答案

由正弦定理得

a

sinA

＝

b

sinB

＝

c

sinC

＝2R，
∴a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，
故有asin（B-C）+bsin（C-A）+csin（A-B）
=2R[sinAsin（B-C）+sinBsin（C-A）+sinCsin（A-B）]
=2R[sinA（sinBcosC-cosBsinC）+sinB（sinCcosA-cosCsinA）+sinC（sinAcosB-cosAsinB）]
=2R（sinAsinBcosC-sinAcosBsinC+sinBsinCcosA-sinBcosCsinA+sinCsinAcosB-sinCcosAsinB）=0，
∴等式成立．