如图,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点的坐标分别是A(2,3)、B(2,1)、C(3,2). (1)判断△ABC的形状; (2)如果将△ABC沿着边AC所在直线旋转一周,求所得旋转体的体积.

如图,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点的坐标分别是A(2,3)、B(2,1)、C(3,2). (1)判断△ABC的形状; (2)如果将△ABC沿着边AC所在直线旋转一周,求所得旋转体的体积.

题目
如图,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点的坐标分别是A(2,3)、B(2,1)、C(3,2).
(1)判断△ABC的形状;
(2)如果将△ABC沿着边AC所在直线旋转一周,求所得旋转体的体积.
答案
(1)答:三角形是等腰直角三角形;
由A、B、C三点的坐标可知,
AC=
(2-3)2+(3-2)2
=
2

BC=
(3-2)2+(2-1)2
=
2

AB=3-1=2,
因为(
2
2+(
2
2=4=22,即AC2+BC2=AB2,AC=BC,
故此三角形是等腰直角三角形;
(2)圆锥的体积为
1
3
π•BC2•AC=
1
3
π×(
2
2×
2
=
2
3
2
π.
(1)先根据两点间的距离公式求出三角形各边的长,再根据勾股定理进行判断即可;
(2)旋转后所得几何体为一个圆锥,根据圆锥的体积计算公式计算即可.

勾股定理的逆定理;等腰三角形的判定;旋转的性质.

此题考查了两点间的距离公式和“面动成体的相关知识”,不仅要求熟悉基本的公式运算,还要有较强的空间思维能力.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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