设p为常数,函数f(x)=log2(1-x)+plog2(1+x)为奇函数. (1)求p的值;(2)若f(x)>2,求x的取值范围;(3)求证:x•f(x)≤0.
题目
设p为常数,函数f(x)=log2(1-x)+plog2(1+x)为奇函数.
(1)求p的值;(2)若f(x)>2,求x的取值范围;(3)求证:x•f(x)≤0.
答案
(1)f(x)=log
2(1-x)+plog
2(1+x)=log
2[(1-x)(1+x)
p],
∵f(x)=log
2(1-x)+plog
2(1+x)为奇函数,
∴f(-x)=log
2[(1+x)(1-x)
p]=-f(x)=
log2=log
2[(1-x)
-1(1+x)
-p],
∴
| 1+x=(1+x)-p | (1-x)p=(1-x)-1 |
| |
,
∴p=-1.
(2)∵p=-1,
∴f(x)=
log2,
∵f(x)>2,
∴
,
解得-1<x<-
,
∴f(x)>2时x的取值范围是(-1,-
).
(3)∵f(x)=
log2,
∴
>0,解得-1<x<1.
当-1<x<0时,
>1,f(x)=
log2>0,
∴x•f(x)<0;
当x=0时,
=1,f(x)=
log2=0,
∴x•f(x)=0;
当0<x<1时,
<1,f(x)=
log2<0,
∴x•f(x)<0.
综上所述,x•f(x)≤0.
(1)f(x)=log
2(1-x)+plog
2(1+x)=log
2(1-x)(1+x)
p,由f(x)=log
2(1-x)+plog
2(1+x)为奇函数,知f(-x)=log
2(1+x)(1-x)
p=-f(x)=
log2,由此能求出p的值.
(2)由p=-1,知f(x)=
log2,由f(x)>2,
,由此能求出f(x)>2时x的取值范围.
(3)由f(x)=
log2的定义域为{x|-1<x<1},分-1<x<0,x=0和0<x<1三种情况进行讨论,证明x•f(x)≤0.
对数函数的单调性与特殊点;函数奇偶性的性质;对数的运算性质.
本题考查对数函数的性质和应用,是中档题.解题时要认真审题,注意分类讨论思想的灵活运用.
举一反三
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