请用反证法证明收敛数列的极限是唯一的

题目

请用反证法证明收敛数列的极限是唯一的

答案

设limxn=a
limxn=b
a任意ε>0,存在N1>0,当n>N1时
|xn-a|<ε
任意ε>0,存在N2>0,当n>N2时
|xn-b|<ε
不妨令ε=(b-a)/2
当N=max{N1,N2}时
有|xn-a|<ε,有
xn<(b+a)/2
|xn-b|<ε,有
(b+a)/2矛盾.
所以
唯一