观察:5^2-1=24,7^2-1=48,11^2-1=120,13^2-1=168……所得的结果都是24的倍数,继续

题目

观察:5^2-1=24,7^2-1=48,11^2-1=120,13^2-1=168……所得的结果都是24的倍数,继续

答案

猜想:(p^2-1)是24的倍数,p≥5.
这个猜想证明如下:
把大于2的自然数分为3k,3k+1,3k+2三种,k∈N.
则其中3k一定是合数,另外两个可能为质数.
若3k+1为质数,则3k+2为合数,且2|k,否则3k+1为合数.
p^2-1=(3k+1)^2-1=9k^2+6k=3k(3k+2),
设k=2m,m为自然数,则p^2-1=6m(6m+2)=24m^2+12m(m+1)
由于2|m(m+1),所以24|(p^2-1).
若3k+2为质数,则3k+1为合数,且k为奇数,即k=2m-1,m∈N.
p^2-1=(3k+2)^2-1=9k^2+12k+3=3(3k^2+4k+1)
=3(12m^2-12m+3+8m-4+1)=3(12m^2-4m)=12m(3m-1)
=12m(m-1)+24m^2
由于2|m(m-1),所以24|(p^2-1).
综上,结论成立.