如图,三棱锥P-ABC中,到面PAC⊥ABC,PA=PB=PC=3.若AB=BC=2倍根号三,求AC与平面PBC所成角的大小,请用向量法

题目

如图,三棱锥P-ABC中,到面PAC⊥ABC,PA=PB=PC=3.若AB=BC=2倍根号三,求AC与平面PBC所成角的大小,请用向量法

答案

过点P向AC作垂线,垂足为O,连接OB
∵面PAC⊥ABC
∴PO⊥平面ABC
∵PA=PB=PC=3 AB=BC=2倍根号三
∴OA=OB=OC △ABC为等腰直角三角形
以O为原点,OA为x轴,OB为y轴,OP为z轴建立空间直角坐标系,则有A(√6,0,0),B（0,√6,0）,C（-√6,0,0）,P(0,0,√3)
向量AC=（-2√6,0,0）向量PC=(-√6,0,-√3) 向量BC=（-√6,-√6,0）
设平面PBC的法向量为向量m
由向量m*PC=0 m*BC=0得到向量m=(1,-1,-√2)
设AC与平面PBC所成角θ,则sinθ=lcosl=1/2
所以AC与平面PBC所成角为30度.