高中数列求和的几种方法

题目

高中数列求和的几种方法
包括累加法累乘法倒序相加法什么的,请告诉我所有的方法的内容及适用范围以及例题.

答案

1.公式法：
　　等差数列求和公式:
　　Sn=n(a1+an)/2=na1+n(n-1)d/2
　　等比数列求和公式：
　　Sn=na1(q=1) Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an×q)/(1-q) (q≠1)
　　其他
　　1+2^2+3^2+4^2+.+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
　　1+2^3+3^3+4^3+.+n^3=[n(n+1)/2]^2
2.错位相减法
　　适用题型：适用于通项公式为等差的一次函数乘以等比的数列形式 和等差等比数列相乘 { an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列.Sn=a1b1+a2b2+a3b3+...+anbn
　　例如：
　　an=a1+(n-1)d
　　bn=b1·q^(n-1)
　　Cn=anbn
　　Tn=a1b1+a2b2+a3b3+a4b4.+anbn
　　qTn= a1b2+a2b3+a3b4+...+a(n-1)bn+anb(n+1)
　　Tn-qTn= a1b1+b2(a2-a1)+b3(a3-a2)+...bn[an-a(n-1)]-anb(n+1)
　　Tn(1-q)=a1b1-anb(n+1)+d(b2+b3+b4+...bn) ______①
　　=a1b1-an·b1·q^n+d·b2[1-q^(n-1)]/(1-q)
　　=a1b1-(a1+nd-d)·b1q^n+d·b2[1-q^(n-1)]/(1-q)
　　Tn=上述式子/(1-q)
　　此外.①式可变形为
　　Tn(1-q)=a1b1-anb(n+1)+d(Sn-b1) Sn为{bn}的前n项和.
　　此形式更理解也好记
3.倒序相加法
　　这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法,就是将一个数列倒过来排列（反序）,再把它与原数列相加,就可以得到n个(a1+an)
　　Sn =a1+ a2+ a3+.+an
　　Sn =an+ a(n-1)+a(n-2).+a1
　　上下相加 得到2Sn 即 Sn= （a1+an)n/2
4.分组法
　　有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可.
　　例如：an=2^n+n-1
5.裂项法
　　适用于分式形式的通项公式,把一项拆成两个或多个的差的形式,即an=f(n+1)－f(n),然后累加时抵消中间的许多项.
　　常用公式：
　　（1）1/n(n+1)=1/n-1/(n+1) ,1/（n-1）-1/n