已知数列{an}满足a1=1，an=3n-1+an-1（n≥2）． （Ⅰ）求a2，a3； （Ⅱ）证明an＝3n−12．

题目

已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n=3^n-1+a_n-1（n≥2）．
（Ⅰ）求a₂，a₃；
（Ⅱ）证明a

答案

（Ⅰ）∵a₁=1，
∴a₂=3+1=4，
∴a₃=3²+4=13；
（Ⅱ）证明：由已知a_n-a_n-1=3^n-1，n≥2
故a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=3n−1+3n−2+…+3+1＝

3n−1

2

．n≥2
当n=1时，也满足上式．
所以an＝

3n−1

2

．