已知函数f(x)=a+2的x次方/2的x次方+1是定义在R上的奇函数,①求实数a的值及函数f(x)的解析式；

题目

已知函数f(x)=a+2的x次方/2的x次方+1是定义在R上的奇函数,①求实数a的值及函数f(x)的解析式；
②当X∈｛-1,2｝时,求函数f(x)的取值范围

答案

1
f(x)=2^x/(2^x+1)+a,是定义域为R的奇函数,故f(-x)=-f(x)
f(-x)=1/(2^x+1)+a,-f(x)=-2^x/(2^x+1)-a
即：1/(2^x+1)+a=-2^x/(2^x+1)-a
即：2a=-(2^x+1)/(2^x+1)=-1,故a=-1/2
所以：f(x)=2^x/(2^x+1)-1/2
2
f(x)=2^x/(2^x+1)-1/2=1/2-1/(2^x+1)
-1/(2^x+1)是形如y=-1/u的反比例函数与u=2^x+1的复合函数
y=-1/u是增函数,u=2^x+1也是增函数,故f(x)是R上的增函数
只不过,当x趋于+inf时,f(x)趋于1/2,当x趋于-inf时,f(x)趋于-1/2
所以,当x∈[-1,2]时,f(x)的最小值：fmin=f(-1)=-1/6
f(x)的最大值：fmax=f(2)=3/10
所以：f(x)∈[-1/6,3/10]