等轴双曲线C:x2-y2=a2与抛物线y2=16x的准线交于A,B两点,|AB|=43,则双曲线C的实轴长等于( ) A.2 B.22 C.4 D.8
题目
等轴双曲线C:x
2-y
2=a
2与抛物线y
2=16x的准线交于A,B两点,
|AB|=4,则双曲线C的实轴长等于( )
A.
B.
2C. 4
D. 8
答案
设等轴双曲线C的方程为x
2-y
2=λ.(1)
∵抛物线y
2=16x,2p=16,p=8,∴
=4.
∴抛物线的准线方程为x=-4.
设等轴双曲线与抛物线的准线x=-4的两个交点A(-4,y),B(-4,-y)(y>0),
则|AB|=|y-(-y)|=2y=4
,∴y=2
.
将x=-4,y=2
代入(1),得(-4)
2-(2
)
2=λ,∴λ=4
∴等轴双曲线C的方程为x
2-y
2=4,即
−=1∴C的实轴长为4.
故选C.
设出双曲线方程,求出抛物线的准线方程,利用|AB|=4
,即可求得结论.
双曲线的简单性质.
本题考查抛物线,双曲线的几何性质,考查学生的计算能力,属于基础题.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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