设x=1和x=2是函数f（x）=x5+ax3+bx+1的两个极值点． （Ⅰ）求a和b的值； （Ⅱ）求f（x）的单调区间．

题目

设x=1和x=2是函数f（x）=x⁵+ax³+bx+1的两个极值点．
（Ⅰ）求a和b的值；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间．

答案

（Ⅰ）因为f′（x）=5x⁴+3ax²+b
由假设知：f′（1）=5+3a+b=0，f′（2）=2⁴×5+2²×3a+b=0
解得a＝−

25

3

，b＝20
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f′（x）=5x⁴+3ax²+b=5（x²-1）（x⁴-4）=5（x+1）（x+2）（x-1）（x-2）
当x∈（-∞，-2）∪（-1，1）∪（2，+∞）时，f′（x）＞0
当x∈（-2，-1）∪（1，2）时，f′（x）＜0
因此f（x）的单调增区间是（-∞，-2），（-1，1），（2，+∞）
f（x）的单调减区间是（-2，-1），（1，2）