已知函数y=mx2−6mx+m+8的定义域为R．（1）求实数m的取值范围；（2）当m变化时，若y的最小值为f（m），求函数f（m）的值域．

题目

已知函数y=

mx2−6mx+m+8

的定义域为R．
（1）求实数m的取值范围；
（2）当m变化时，若y的最小值为f（m），求函数f（m）的值域．

答案

（1）依题意，当x∈R时，mx²-6mx+m+8≥0恒成立．当m=0时，x∈R；
当m≠0时，

m>0 △≤0

即

m>0 (-6m)2-4m(m+8)≤0

．
解之得0<m≤1，故实数m的取值范围0≤m≤1．
（2）当m=0时，y=2

2

；
当0<m≤1，y=

m(x-3)2+8-8m

．
∴y_min=

8-8m

．
因此，f（m）=

8-8m

（0≤m≤1），
易得0≤8-8m≤8．
∴f（m）的值域为[0，2

2

]．

（1）利用该函数的被开方数大于等于零得出该函数有意义需满足的不等式，结合恒成立问题得出字母m满足的不等式；
（2）通过配方法将函数的被开方数写成二次函数的顶点式，求出y的最小值为f（m），借助m的范围求出f（m）的值域．

本题考点：函数的定义域及其求法；函数的值域；函数的最值及其几何意义；一元二次不等式的应用．

考点点评：本题考查偶次根式的定义域的求解，考查不等式恒成立问题的解决办法，关键要进行等价转化，利用单调性求值域是本题的另一个命题点．