y都是正整数,且x(x-y)-y(y-x)=12,求x,y的值.

题目

y都是正整数,且x(x-y)-y(y-x)=12,求x,y的值.
（1）分解因式1+x+x(1+x)+x(1+x)^2+x(1+x)^3.
你发现了什么规律?
利用你发现的规律直接写出多项式1+x+x(1+x)+x(1+x)^2+……+x(1+x)^2005分解因式的结果.
（2）已知x,y都是正整数,且x(x-y)-y(y-x)=12,求x,y的值.

答案

1+x+x(1+x)+x(1+x)^2+x(1+x)^3
=(1+x)+x(1+x)+x(1+x)^2+x(1+x)^3.
=(1+x)[1+x+x(1+x)+x(1+x)^2]
=(1+x)^2[1+x+x(1+x)]
=(1+x)^3[1+x]
=(1+x)^4
看出来规律了没
1+x+x(1+x)+x(1+x)^2+……+x(1+x)^2005=(1+x)^2006
2
x(x-y)-y(y-x)=x^2-xy-y^2+xy=x^2-y^2=(x+y)(x-y)=12
因为x,y都是正整数 x+y和x-y都是12的因子
所以 x+y = 12 x-y = 1
或 x+y = 6 x-y =2
或 x+y = 4 x-y=3
如果 x+y = 12 x-y = 1 得到x=13/2 ,y=11/2 不是正整数 （舍去）
如果 x+y = 6 x-y = 2 得到x=4 ,y=2
如果 x+y = 4 x-y = 3 得到x=7/2 ,y=1/2 不是正整数 （舍去）