设y=f(x)是定义在R上的函数,求证:A(a,b)是函数y=f(x)图象的一个对称中心的充要条件是:f(x)+f(2a-x)=2b.
题目
设y=f(x)是定义在R上的函数,求证:A(a,b)是函数y=f(x)图象的一个对称中心的充要条件是:f(x)+f(2a-x)=2b.
答案
由于(a,b)是函数y=f(x)图象的一个对称中心,利用图像可以看出
f(a-x)-b=-[f(a+x)-b]
（相当于把（a,b）平移到原点,考虑原点为对称中心的函数图像实际上就是奇函数图像）
也就是f(a-x)+f(a+x)=2b,用x-a代替x,就得出
f(2a-x)+f(x)=2b,就是所要证明的结果.
举一反三
已知函数f（x）=x，g（x）=alnx，a∈R．若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）相交，且在交点处有相同的切线，求a的值和该切线方程．
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