f(x)在[0,+∞)内连续,且lim(x→+∞)f(x)=1.证明函数y=e^(-x)∫(0,x)e^tf(t)dt满足方程dy/dx+y=f(x)
题目
f(x)在[0,+∞)内连续,且lim(x→+∞)f(x)=1.证明函数y=e^(-x)∫(0,x)e^tf(t)dt满足方程dy/dx+y=f(x)
并求lim(x→+∞)y(x)
答案
求导,得dy/dx=-e^(-x)∫<0,x>e^tf(t)dt+e^(-x)*e^(x)f(x)
所以dy/dx+y=f(x)
而y=[∫<0,x>e^tf(t)dt]/e^x
limy=lim{d[∫<0,x>e^tf(t)dt]/dx}/e^x(洛必达法则)
=limf(x)=1
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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