已知随机变量X和Y的联合概率密度为φ（x，y）=4xy ， 0≤x≤1，0≤y≤10 ， 其他． 求：X和Y的联合分布函数F（x，y）．

题目

已知随机变量X和Y的联合概率密度为φ（x，y）=

4xy ，  0≤x≤1，0≤y≤1 0 ，        其他

．
求：X和Y的联合分布函数F（x，y）．

答案

∵X和Y的联合概率密度为：φ（x，y）=

4xy ，  0≤x≤1，0≤y≤1 0 ，        其他

，
∴①当x＜0或y＜0时，有：F(x，y)=

∫

x -∞

∫

y -∞

0dxdy=0，
②当0≤x≤1，0≤y≤1时，F(x，y)=

∫

x 0

∫

y 0

4uvdudv=x2y2，
③当x＞1，y＞1时，F(x，y)=

∫

1 0

∫

1 0

4uvdudv=1，
④当x＞1，0≤y≤1时，F(x，y)=

∫

1 0

du

∫

y 0

4uvdv=y2，
⑤当y＞1，0≤x≤1时，F(x，y)=

∫

x 0

du

∫

1 0

4uvdv=x2，
从而，X和Y的联合分布函数为：
F（x，y）=

0 ，x＜0或y＜0 x2y2 ，0≤x≤1，0≤y≤1 x2 ，0≤x≤1，y＞1 y2 ，x＞1，0≤y≤1 1 ，x＞1，y＞1

．

根据二维连续型随机变量的联合分布的定义F(x，y)＝

∫

x −∞

∫

y −∞

f(u，v)dudv求出来．

本题考点：二维连续型随机变量的分布函数．

考点点评：此题考查二维连续型随机变量的联合分布的求法，要注意将联合概率密度函数的区域分成几个区域来讨论．