a1,a2,…an是一组n维向量,证明：它们线性无关的充分必要条件是任一n维向量组都可以由它们线性表示.

题目

a1,a2,…an是一组n维向量,证明：它们线性无关的充分必要条件是任一n维向量组都可以由它们线性表示.

答案

证明 必要性
设a为任一n维向量
因为a1 a2 …… an线性无关
而a1 a2  …… an a是n+1个n维向量
是线性相关的
所以a能由a1 a2  …… an线性表示
且表示式是唯一的
充分性 已知任一n维向量都可由a1 a2  …… an线性表示,
故单位坐标向量组e1 e2  …… en能由a1 a2  …… an线性表示,
于是有n=R(e1 e2  …… en)≤R(a1 a2 ……  an)≤n
即R(a1 a2  …… an)=n
所以a1 a2  …… an线性无关