如图，在等腰梯形ABCD中，已知AD∥BC，AB=DC，AD=2，BC=4，延长BC到E，使CE=AD． （1）证明：△BAD≌△DCE； （2）如果AC⊥BD，求等腰梯形ABCD的高DF的值．

题目

如图，在等腰梯形ABCD中，已知AD∥BC，AB=DC，AD=2，BC=4，延长BC到E，使CE=AD．

（1）证明：△BAD≌△DCE；
（2）如果AC⊥BD，求等腰梯形ABCD的高DF的值．

答案

（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠CDA=∠DCE．（1分）
又∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴∠BAD=∠CDA，（2分）
∴∠BAD=∠DCE．（3分）
∵AB=DC，AD=CE，
∴△BAD≌△DCE；（5分）
（2）∵AD=CE，AD∥BC，
∴四边形ACED是平行四边形，（7分）
∴AC∥DE．（8分）
∵AC⊥BD，
∴DE⊥BD．（9分）
由（1）可知，△BAD≌△DCE，
∴DE=BD．（10分）
所以，△BDE是等腰直角三角形，即∠E=45°，
∴DF=FE=FC+CE．（12分）
∵四边形ABCD是等腰梯形，而AD=2，BC=4，
∴FC=

1

2

（BC-AD）=

1

2

（4-2）=1．（13分）
∵CE=AD=2，
∴DF=3．（14分）