求证:对于任意的x∈【-1,1】,都arcsinx+arccosx=π/2

题目

求证:对于任意的x∈【-1,1】,都arcsinx+arccosx=π/2

答案

令θ=arcsinx,
∵x∈[-1,1],∴θ∈[-π/2,π/2] ,则sinθ=x,
下面证明 arccosx=π/2-θ即可
（要证明两个角相等,需证明两个方面 的内容：
1º两个角的同名函数值相等
2º两个角处于该函数的单调区间内）
∵cos(π/2-θ)=sinθ=x
cos(arccosx)=x
∴ cos(arccosx)=cos(π/2-θ)
又x∈[-1,1],araccosx∈[0,π]
θ∈[-π/2,π/2],∴π/2-θ∈[0,π]
∴arccosx=π/2-θ
即arcsinx+arccosx=π/2