多元函数的极值
题目
多元函数的极值
做一个容积为9/2 m^3的长方形箱子,巷子的盖及侧面的造价为每平米8元,箱底每平米1元,求造价最低的箱子的尺寸.
答案
设:长方形箱子的长、宽高分别为:X,Y,Z,意造价为u
根据题意:u=xy+8xy+2yz*8+2xz*8
=9xy+16yz+16xz.(1)
xyz=9/2 即 xyz-9/2=0.(2)
由(1),(2) 构建一个新的函数:F=u+k(xyz-9/2) (k为比例系数)
F=9xy+16yz+16xz+k(xyz-9/2),对F分别求x,y,z求偏导数
aF/ax=9y+16z+kyz=0.(3)
aF/ay=9x+16z+kxz=0.(4)
aF/az=16y+16z+kxy=0.(5)
由(3)得:9y+16z=-kyz.(6)
由(4)得:9x+16z=-kxz.(7)
(6)/(7) 得:x=y
由:(4),(5)同理得 9y=16z
代入(2)x=y=2 z=9/8
故:最低造价箱子的尺寸长、宽、高分别为2,2,9/8.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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