已知双曲线C的焦点在x轴上,离心率e=根号5且直线y=x+2被双曲线截得的弦长为12.求双曲线C的方程

题目

已知双曲线C的焦点在x轴上,离心率e=根号5且直线y=x+2被双曲线截得的弦长为12.求双曲线C的方程
过程＆得数

答案

e=c/a=根号5,则c=根号5a,所以b=2a.故设双曲线方程为x²/a²-y²/4a²=1,其中a＞0
联立直线和双曲线方程可得,4x²-(x+2)²=4a²,化简可得3x²-4x-4-4a²=0
设直线与双曲线交点为(x1,y1),(x2,y2)
则x1+x2=4/3,x1x2=(-4-4a²)/3
因为直线被双曲线所截得的弦长为12,即两交点距离为12
则,根号2|x1-x2|=12
即,根号2×根号[(x1+x2)²-4x1x2]=12
两边平方可得,(x1+x2)²-4x1x2=72
代入可得,(4/3)²+4(4+4a²)/3=72
解得,a=根号(73/6),故b=2根号(73/6)
则双曲线方程为x²/(73/6)-y²/(292/6)=1