直线l与椭圆x^2/4+y^2=1交于p,q两点,已知l的斜率为1,求pq中点轨迹方程

题目

直线l与椭圆x^2/4+y^2=1交于p,q两点,已知l的斜率为1,求pq中点轨迹方程

答案

设两点P(x1,y1),Q(x2,y2)
x1^2/4+y1^2=1
x2^2/4+y2^2=1
两式相减得
(x1+x2)(x1-x2)/4+(y1+y2)(y1-y2)=0 ------ (1)
PQ斜率为(y2-y1)/(x2-x1)=1
所以y1-y2=x1-x2
带入(1)得 (x1+x2)/4+(y1+y2)=0 ------ (2)
设PQ中点为(x,y),则x=1/2(x1+x2),y=1/2(y1+y2)
带入(2)得 2x/4+2y=0 即 x+4y=0
下面讨论x,y范围
因为PQ中点在椭圆内,所以PQ轨迹为x+2y=0在椭圆内的部分
y=-1/4x 所以 x^2/4+(-1/4x)^2